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亚里士多德把数学定义为“数量数学,这个定义直到18世纪。从19世纪开始,数学研究越来越严格,开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题,数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质,一些强调了它的抽象性,一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中,对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学,甚至没有一致意见。[8]许多专业数学家对数学的定义不感兴趣,或者认为它是不可定义的。有些只是说,“数学是数学家做的。”

数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家,直觉主义者和形式主义者,每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题,没有人普遍接受,没有和解似乎是可行的。

为了弄清楚数学基础,数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托尔(1845—1918)首创集合论,大胆地向“无穷大”进军,为的是给数学各分支提供一个坚实的基础,而它本身的内容也是相当丰富的,提出了实无穷的思想,为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支,成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初,数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想,把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”.英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。

数量的学习起于数,一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理和无理数.

另一个研究的领域为其大小,这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念:阿列夫数,它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较.

哥德巴赫猜想

在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了以下猜想:a) 任一不小于6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和;b) 任一不小于9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作“a+b”,哥氏猜想就是要证明“1+1”成立。1966年陈景润证明了“1+2”的成立,即“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。